Question

已知f（x）是以2為周期的偶函數，當x∈[0，1]，f（x）=x，那么在區間[-1，3]內，關于x的方程y=kx+k+1（其中k為不等于1的實數）有四個不同的實根，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：利用函數的奇偶性和周期性可畫出函數的圖象，利用數形結合的思想解答．由已知需要先畫出函數在[0，1]上的圖象，再利用奇偶性畫出在[-1，0]上的圖象，利用周期性可畫出在區間[-1，3]內的函數圖象，即可解答本題．

解答：解：由已知可畫出函數f（x）的圖象，先畫出f（x）在x∈[0，1]上的圖象，利用偶函數畫出
在x∈[-1，0]上的圖象，再利用函數的周期性畫出R上的圖象，下面畫出的是函數在x∈[-1，3]上
的圖象，如圖：

又可知關于x的方程y=kx+k+1（k≠1）恒過點（-1，1），在上圖中畫出直線L₀，L₁，L₂，顯然當這些過定點（-1，1）
的直線位于L₀與L₂之間如L₁時，才能與函數f（x）有四個交點；又因為直線L₀與L₂的斜率為k₀=0和k₂=-

1

3

，因此k的
取值范圍應為：-

1

3

＜k＜ 0
故答案為：(-

1

3

，0)

點評：本題考查函數的奇偶性，周期性以及綜合應用，數形結合的思想，直線系方程的應用．