Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=2，AD=3，CD=1，點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，且AE=AD，BF=BC．現(xiàn)將此梯形沿EF折至使AD=的位置（如圖2）．
（Ⅰ）求證：AE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直線CE與平面BCF所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲證AE⊥平面ABCD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AE與平面ABCD內(nèi)兩相交直線垂直，而EA⊥AD，EA⊥AB，AB∩AD=A，滿足定理?xiàng)l件；
（II）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，然后先求出平面BCF的法向量，記直線CE與平面BCF所成的角為α，利用公式求出直線CE與平面BCF所成角的正弦值．
解答：解：（Ⅰ）證明：由題意：，
∴∠EAD=90°，即EA⊥AD，（2分）
又EA⊥AB，AB∩AD=A，∴AE⊥平面ABCD．（4分）
（Ⅱ）解：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則，，（6分）
設(shè)平面BCF的法向量，
由得．（9分）
記直線CE與平面BCF所成的角為α，
則．
所以，直線CE與平面BCF所成角的正弦值為．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查平面與平面垂直的判定，以及直線與平面所成的角等有關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．