Question

設f（x）=x²-6x+5，不等式組

f(x)-f(y)≥0 1≤x≤5

表示的區域為A，
（1）在區域A中任取一點（x，y），求z=

x2+y2

xy

的取值范圍；
（2）平面上有一定點O（3，3），若一動點M滿足|OM|≤2

2

，求點M落入區域A內的概率．

Answer 1

分析：利用函數f（x）=x²-6x+5，化簡不等式組

f(x)-f(y)≥0 1≤x≤5

，
（1）畫出不等式組表示的可行域，求出

y

x

的范圍，化簡z=

x2+y2

xy

，通過

y

x

的范圍以及基本不等式，求出z的取值范圍；
（2）輸出M的坐標，推出|OM|≤2

2

的方程表示的區域，然后利用幾何概型，求點M落入區域A內的概率．

解答：解：（1）f（x）=x²-6x+5，不等式組

f(x)-f(y)≥0 1≤x≤5

化為：

x2-6x+5-y2+5y-5≥0 1≤x≤5

，
即：

(x-y)(x+y-6)≥0 1≤x≤5

，表示的可行域如圖：
z=

x2+y2

xy

=

x

y

+

y

x

，令t=

y

x

，t∈[k₁，k₂]，k1=

1

5

，k₂=5，
∴t∈[

1

5

，5]．
∴z=

1

t

+t≥2，當且僅當t=1（1∈[

1

5

，5]）時取等號，
z的最大值在t=

1

5

與t=5中取得，
t=

1

5

與t=5時，z=

26

5

，
∴z∈[2，

26

5

]．
（2）設M（x，y），∵|OM|≤2

2

，
∴（x-3）²+（y-3）²≤8
點M（x，y）所在的區域是以（3，3）為圓心的半徑為2

2

，的圓面，
∴P=

S區域A

S圓

=

2× 1 2 ×4×2

π×(2 2 )2

=

8

8π

=

1

π

．

點評：本題考查解得的線性規劃的應用，基本不等式的應用，幾何概型的求法，考查計算能力以及轉化思想．