Question

設函數f（x）=x²-ax-6和函數g(x)=

k-2

x

(k≠2)，已知過點（3，-28）的兩直線與曲線f（x）分別相切于兩點A（m₁，f（m₁）），B（m₂，f（m₂）），且2

5

是m₁+3與m₂+3的等比中項．
（Ⅰ） 求a的值；
（Ⅱ） 若函數h（x）=f（x）-g（x）-4lnx在(

1

2

，4)是增函數，求k的取值范圍；
（Ⅲ） 設t=

2k+1

i=1

1

|g(x-i)|

，k＞2，k∈N*，求證：ln

1+t

1+k

＜t-k．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由f（x）=x²-ax-6求導f'（x）=2x-a設點（m，f（m））在曲線f（x）上，利用導數的幾何意義求出切線方程及切點A（m₁，f（m₁）），B（m₂，f（m₂）），結合等比中項條件得到m₁m₂+3（m₁+m₂）-11=0得到利用根與系數的關系即可求得a值
（Ⅱ）利用h(x)=x2-5x-6+

k-2

x

-4lnx在(

1

2

，4)是增函數，結合導數得到k≥-2x³+5x²+4x+2在(

1

2

，4)上恒成立，最后利用恒成立的條件即可求出k的取值范圍；（Ⅲ）先將已知條件進行變形化簡得出t＞k＞0，再設u（x）=ln（1+x）-x利用導數工具研究其單調性即可證得ln

1+t

1+k

＜t-k．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x²-ax-6
∴f'（x）=2x-a設點（m，f（m））在曲線f（x）上，
∴點（m，f（m））
處的切線方程為點y-（m²-am-6）=（2m-a）（x-m），（1分）
∵切線過點（3，-28）與曲線f（x）相切于點A（m₁，f（m₁）），B（m₂，f（m₂）），
∴-28-（m²-am-6）=（2m-a）（3-m），即m²-6m+3a-22=0，
∴m₁+m₂=6，m₁m₂=3a-22，（2分）
∵2

5

是m₁+3與m₂+3的等比中項，
∴（m₁+3）（m₂+3）=20，即m₁m₂+3（m₁+m₂）-11=0，（3分）
∴3a-22+3×6-11=0，∴a=5，（4分）
（Ⅱ）∵h(x)=x2-5x-6+

k-2

x

-4lnx在(

1

2

，4)是增函數，
∴h′(x)=2x-5+

k-2

x2

-

4

x

≥0在(

1

2

，4)上恒成立，（5分）
∴k≥-2x³+5x²+4x+2在(

1

2

，4)上恒成立，
設m（x）=-2x³+5x²+4x+2，∴m'（x）=-6x²+10x+4，（6分）
則m'（x）=-6x²+10x+4=0，則x=-

1

3

，或x=2，
∴m（x）=-2x³+5x²+4x+2
在(

1

2

，2)上是增函數，[2，4）上是減函數，
∴當x=2時，m（x）有最大值為14，（7分）
∴k的取值范圍是[14，+∞），（8分）
（Ⅲ）∵t=

2k+1

i=1

1

|g(x-i)|

=

1

k-2

(|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-(2k+1)|）
又∵t=

1

k-2

(|x-(2k+1)|+|x-2k|++|x-1|)，
∴2t=

1

k-2

[(|x-1|+|x-(2k+1)|)+(|x-2|+|x-2k|)++(|x-(2k+1)|+|x-1|)
≥

1

k-2

[(|x-1-x+2k+1|)+(|x-2-x+2k|)++(|x-2k-1-x+1|)（9分）
=

1

k-2

(2k+2(k-1)++2)×2
=

2

k-2

k(k+1)，（10分）
≥

2

k-2

k(k-2)=2k，（11分）
∴t＞k＞0，
設u（x）=ln（1+x）-x，（12分）
∴u′(x)=

1

1+x

-1=-

x

1+x

，
當x＞0時，u'（x）＜0，
∴u（x）在（0，+∞）上遞減，（13分）
∵t＞k＞0，∴u（t）＜u（k），
∴ln（1+t）-t＜ln（1+k）-k，
∴ln

1+t

1+k

＜t-k（14分）

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、利用導數研究曲線上某點切線方程、不等式的證明等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．