Question

給出如下四個命題：
①對于任意一條直線a，平面α內必有無數條直線與a垂直；
②若α、β是兩個不重合的平面，l、m是兩條不重合的直線，則α∥β的一個充分而不必要條件是l⊥α，m⊥β，且l∥m；
③已知a、b、c、d是四條不重合的直線，如果a⊥c，a⊥d，b⊥c，b⊥d，則“a∥b”與“c∥d”不可能都不成立；
④已知命題P：若四點不共面，那么這四點中任何三點都不共線．
則命題P的逆否命題是假命題上命題中，正確命題的個數是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．4

Answer 1

【答案】分析：用線面位置關系的定義判斷，結合線面垂直的定義和線線的位置關系判斷，用反證法判斷④推出矛盾．
解答：解：①對，當a?α或a∥α時，α內必有無數條直線與a垂直；
當a∩α=A時，若a⊥α時滿足題意；
當a與α斜交時，a在α內的射影與α內的直線垂直，則a與該直線垂直，
α內必有無數條直線與a垂直；
②對，充分性成立，∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，又∵m⊥β，∴α∥β，
必要性不成立，α∥β，推不出l和m關系；
③對，c∥d時，滿足條件；c與d相交時確定一個平面α，則a⊥α，b⊥α，故有a∥b；
當c與d異面時，可c過上一點作出e與d平行，則c、e確定平面β，a⊥β，b⊥β，有a∥b；
④對，用反證法證明，得出與條件矛盾；
故選D．
點評：本題考查了線面位置關系的定義，用反證法證明推出矛盾，考查了推理論證能力、空間想象能力和邏輯思維能力．