Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）當(dāng)時(shí)，證明： .

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 當(dāng)或時(shí)， 有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)， 沒(méi)有零點(diǎn)；(Ⅱ)詳見(jiàn)解析．

【解析】試題分析：（1），所以當(dāng)或時(shí)， 有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)， 沒(méi)有零點(diǎn)；（2）時(shí)， 在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，最大值，所以原題等價(jià)于，即，設(shè)，求導(dǎo)得到最大值為，即．

試題解析：

(Ⅰ) 的定義域?yàn)?/span>，

若，由， 沒(méi)有零點(diǎn)；

若或，由， ， ， 有一個(gè)零點(diǎn)；

若，由， ， 沒(méi)有零點(diǎn)．

綜上所述，當(dāng)或時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)沒(méi)有零點(diǎn)．

(Ⅱ)由（1）知， ， 時(shí)

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， .

故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

所以在取得最大值，

最大值，

即.

所以等價(jià)于，

即，其中．

設(shè)，則.

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， .

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

故當(dāng)時(shí)取得最大值，最大值為

所以當(dāng)時(shí)， .

從而當(dāng)時(shí)，

即．