Question

【題目】已知橢圓:()的離心率為，設(shè)直線(xiàn)過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.

（1）求橢圓的方程.

（2）過(guò)點(diǎn)且斜率不為零的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，在軸的正半軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線(xiàn)，的斜率之積為非零的常數(shù)?若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

（1）設(shè)直線(xiàn)的方程為，由離心率和原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，可得關(guān)于的方程組，解方程組得即可得答案；

（2）依題意可設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，直線(xiàn)方程代入曲線(xiàn)方程，利用判別式大于0得的范圍，利用韋達(dá)定理可得與的關(guān)系，并假設(shè)存在點(diǎn)

使命題成立，利用斜率公式代入坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，即可得答案.

（1）設(shè)橢圓半焦距為.根據(jù)題意得，橢圓離心率，即，

所以.①

因?yàn)橹本�(xiàn)過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，

所以設(shè)直線(xiàn)的方程為，即.

又由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，得.②

聯(lián)立①②解得，.所以橢圓的方程為.

（2）依題意可設(shè)直線(xiàn)的方程為，，.聯(lián)立得.所以，所以.

所以，，

則，.

假設(shè)存在定點(diǎn)()，使得直線(xiàn)，的斜率之積為非零常數(shù)，

所以.

要使為非零常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)解得(負(fù)值舍去).

當(dāng)時(shí)，常數(shù)為.

所以軸的正半軸上存在定點(diǎn)，使得直線(xiàn)，的斜率之積為常數(shù).