Question

【題目】定義變換將平面內的點變換到平面內的點；若曲線經變換后得到曲線，曲線經變換后得到曲線，…，依次類推，曲線經變換后得到曲線，當時，記曲線與、軸正半軸的交點為和，某同學研究后認為曲線具有如下性質：①對任意的，曲線都關于原點對稱；②對任意的，曲線恒過點；③對任意的，曲線均在矩形（含邊界）的內部，其中的坐標為；④記矩形的面積為，則；其中所有正確結論的序號是_______.

Answer 1

【答案】③④

【解析】

在曲線上任取一點，經變換后得到曲線上的點，…….依次類推，經變換后得到曲線上的點，根據變換得： ，兩邊取對數，得到

所以分別以為首項，以 為公比的等比數列，從而得到，再根據代入法求軌跡方程，得到 ，然后再對四個命題逐一討論，進而得到正確的結論.

在曲線上任取一點

經變換后得到曲線上的點，

曲線經變換后得到曲線上的點，

依次類推，曲線上的點，

經變換后得到曲線上的點，

根據題意得： ，

所以

即

所以分別以為首項，以 為公比的等比數列.

所以

所以

又因為點在曲線上

所以

①點不適合，所以曲線不關于原點對稱；故錯誤.

②令 所以曲線不過點；故錯誤.

③令得，令 ，得,

因為，所以，

同理所以對任意的，曲線均在矩形（含邊界）的內部，其中的坐標為；故正確.

④記矩形的面積為，則，

故，故正確.

綜上：③④正確

故答案為：③④