Question

已知數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，其前n項和為S_n，且a_n與1的等差中項等于S_n與1的等比中項．
（1）求a₁的值及數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)bn=

2

1+an

+(-1)n-1×2n+1λ，若數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

（1）由已知得，

an+1

2

=

Sn

，4Sn=an2+2an+1．
當(dāng)n=1時，求得a₁=1
當(dāng)n≥2時，4Sn-1=an-12+2an-1+1
所以4an=4Sn-4Sn-1=an2+2an-an-12-2an-1
整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
因為{a_n}的各項均為正數(shù)，所以a_n-a_n-1=2，
又a₁=1，所以a_n=2n-1；
（2）由（1）得，bn=4n+λ×(-1)n-1×2n+1，
又?jǐn)?shù)列{b_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，所以b_n＜b_n+1恒成立，
從而bn-bn-1=4n+1+λ×(-1)n×2n+2-4n-λ×(-1)n-1×2n-1
=3×4ⁿ-3λ×（-1）^n-1×2ⁿ⁺¹＞0恒成立．
①當(dāng)n是奇數(shù)時，得λ＜2^n-1恒成立，2^n-1的最小值為1，λ＜1
②當(dāng)n是偶數(shù)時，得λ＞-2^n-1恒成立，-2^n-1最大值為-2，λ＞-2．
綜上得：-2＜λ＜1．