Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，底面△ABC是正三角形，∠APB=90°，∠PAB=60°，平面PAB⊥平面ABC．
（Ⅰ）求直線PC與平面ABC所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設AB中點為D，AD的中點為O，連接PO，CO，CD，則可得∠OCP為直線PC與平面ABC所成的角，在直角△POC中，即可求得直線PC與平面ABC所成角的大小；
（Ⅱ）過D作DE⊥AP于E，連接CE，可得∠CED為二面角B-AP-C的平面角，在直角△CDE中，可求二面角B-AP-C的大小．

解答：解：（Ⅰ）設AB中點為D，AD的中點為O，連接PO，CO，CD．
由已知△PAD為等邊三角形，所以PO⊥AD，
又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AD，
所以∠OCP為直線PC與平面ABC所成的角．
不妨設AB=4，則PD=2，CD=2

3

，OD=1，PO=

3

．
在△OCD中，CO=

OD2+CD2

=

13

．
所以，在直角△POC中，tan∠OCP=

3

13

=

39

13

．
所以直線PC與平面ABC所成角的大小為arctan

39

13

．
（Ⅱ）過D作DE⊥AP于E，連接CE．
由已知得CD⊥平面PAB，根據三垂線定理知CE⊥PA，所以∠CED為二面角B-AP-C的平面角．
由（Ⅰ）知，DE=

3

．
在直角△CDE中，tan∠CED=

CD

DE

=

2 3

3

=2．
所以二面角B-AP-C的大小為arctan2．

點評：本題考查線面角，考查面面角，解題的關鍵是正確作出線面角、面面角，屬于中檔題．