Question

知數列{a_n}滿足a₁=a（a為常數，a∈R），a_n+1=2ⁿ-3a_n（n∈N^*），設b_n=

an

2n

（n∈N^*）．
（1）求數列{b_n}所滿足的遞推公式；
（2）求數列{b_n}通項公式．

Answer 1

分析：對于（1）求數列{b_n}所滿足的遞推公式，可直接把等式a_n+1=2ⁿ-3a_n兩邊同時除以2ⁿ，根據已知b_n=

an

2n

，化簡即可得到答案．
對于（2）求數列{b_n}通項公式．由（1）求得的{b_n}的遞推公式，可以分析到是差后等比數列，故可以用待定系數的方法求出數列{bn-

1

5

}是首項為{b1-

1

5

}，公比為-

3

2

的等比數列，再根據等比數列的通項公式的求法求得后化簡即可．

解答：解：（1）因為a₁=a，a_n+1=2ⁿ-3a_n（n∈N^*），
所以

an+1

2n+1

=

1

2

-

3

2

•

an

2n

，又b_n=

an

2n

．
所以bn+1=

1

2

-

3

2

bn
所以數列{b_n}所滿足的遞推公式為

b1= a 2 bn+1= 1 2 - 3 2 bn  (n∈N*)

（2）設：b_n+1-c=q（b_n-c）
所以b_n+1=qb_n+c-qc 又由上問bn+1=

1

2

-

3

2

bn，
可解得

q=- 3 2 c= 1 5

即：bn+1-

1

5

= -

3

2

( bn-

1

5

)
所以數列{bn-

1

5

}是首項為{b1-

1

5

}，公比為-

3

2

的等比數列．
由等比數列通項公式可得：bn-

1

5

= (b1-

1

5

)( -

3

2

)n-1
即通項公式為：bn=

1

5

+(

a

2

-

1

5

)( -

3

2

)n-1．

點評：此題主要考查等比數列通項公式的應用問題，其中涉及到差后等比數列的通項公式的求法，這個類型的數列在考試中經常出現且有一定的靈活性，需要同學們注意．