Question

已知數列a_n滿足a_n+1=|a_n-1|（n∈N^*），（1）若a1=

5

4

，求a_n；
（2）是否存在a₁，n₀（a₁∈R，n₀∈N^*），使當n≥n₀（n∈N^*）時，a_n恒為常數．若存在求a₁，n₀，否則說明理由；
（3）若a₁=a∈（k，k+1），（k∈N^*），求a_n的前3k項的和S_3k（用k，a表示）

Answer 1

分析：（1）由數列a_n滿足a_n+1=|a_n-1|（n∈N^*），a1=

5

4

，我們分別求出a₂，a₃，a₄的值，分析變化的周期性規則，即可得到a_n的表達式；
（2）我們分a_n≥1時，0＜a₁＜1時，a₁=b≥1時和a₁=c＜0時，幾種情況，分別進行討論，最后將討論結論綜合，即可得到結論；
（3）當a₁=a∈（k，k+1）（k∈N^*）時，易知a₂=a-1，a₃=a-2，…，a_k=a-（k-1），利用拆項法，即可得到答案．

解答：解：（1）a1=

5

4

，a2=

1

4

，a3=

3

4

，a4=

1

4

，
∴a1=

5

4

，n≥2時，
an=

1 4 ，n=2k 3 4 ，n=2k+1

，其中k∈N^*
（2）因為存在an+1=|an-1|=

an-1，an≥1 -an+1，an＜1

，
所以當a_n≥1時，a_n+1≠a_n
①若0＜a₁＜1，則a₂=1-a₁，a₃=1-a₂=a₁，此時只需：a₂=1-a₁=a₁，∴a1=

1

2

故存在a1=

1

2

，an=

1

2

，(n∈N*)
②若a₁=b≥1，不妨設b∈[m，m+1），m∈N^*，易知a_m+1=b-m∈[0，1），
∴a_m+2=1-a_m+1=1-（b-m）=a_m+1=b-m
∴b=m+

1

2

，∴a1=m+

1

2

，n≥m+1時，an=

1

2

，(m∈N*)
③若a₁=c＜0，不妨設c∈（-l，-l+1），l∈N^*，易知a₂=-c+1∈（l，l+1]，
∴a₃=a₂-1=-c，a_l+2=-c-（l-1）∈（0，1]
∴c=-l+

1

2

，∴a1=-l+

1

2

(l∈N*)，n≥l+2，則an=

1

2

故存在三組a₁和n₀：a1=

1

2

時，n₀=1；a1=m+

1

2

時，n₀=m+1；a1=-m+

1

2

時，n₀=m+2其中m∈N^*
（3）當a₁=a∈（k，k+1）（k∈N^*）時，
易知a₂=a-1，a₃=a-2，a_k=a-（k-1），
a_k+1=a-k∈（0，1），a_k+2=1-a_k+1=k+1-a，
a_k+3=1-a_k+2=a-k，a_k+4=1-a_k+3=k+1-a，
a_3k-1=a-k，a_3k=k+1-a
∴S_3k=a₁+a₂+…+a_k+a_k+1+a_k+2+a_k+3+a_k+4+…+a_3k-1+a_3k
=a+（a-1）+（a-2）+…+k+1-a
=

k2

2

+k(a+

3

2

)

點評：本題考查的知識點是數列遞推公式及數列求和，其中正確理解數列的遞推公式，并能準確的對a進行分類討論，是解答本題的關鍵．