Question

（07年遼寧卷理）（12分）

已知函數(shù)，．

（I）證明：當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；

（II）對(duì)于給定的閉區(qū)間，試說(shuō)明存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，在閉區(qū)間上是減函數(shù)；

（III）證明：．

Answer 1

本小題主要考察二次函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)的最大值和最小值等知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。

解析：（I）證明：由題設(shè)得，。又由，且得，即。由此可知，在上是增函數(shù)。

（II）因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090325/20090325141222009.gif' width=61>是為減函數(shù)的充分條件，所以只要找到實(shí)數(shù)k，使得t>k時(shí)，即在閉區(qū)間上成立即可。因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090325/20090325141222013.gif' width=85>在閉區(qū)間上連續(xù)，故在閉區(qū)間上有最大值，設(shè)其為k，于是在t>k時(shí)，在閉區(qū)間上恒成立，

即在閉區(qū)間上為減函數(shù)。    

（III）設(shè)，即

，

易得

。

令，則，易知。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。故當(dāng)時(shí)，取最小值，。所以

，

于是對(duì)任意的，都有，即。