Question

已知向量

OP

=( 2cos(

π

2

+x) ， -1 )，

OQ

=( -sin(

π

2

-x) ， cos2x )，定義f（x）=

OP

•

OQ

．
（1）求函數f（x）的表達式，并求其單調區間；
（2）在銳角△ABC中，角A、B、C對邊分別為a、b、c，且f（A）=1，bc=8，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）根據平面向量的數量積的運算法則化簡f（x）后，利用兩角和的余弦函數公式及兩角差的正弦函數公式化簡，再利用兩角差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，根據正弦函數的單調區間即可求出f（x）的單調區間；
（2）由f（A）=1，把x=A代入（1）求出的f（x）得到sin（2A-

π

4

）的值，然后由A的范圍求出2A-

π

4

的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數，利用三角形的面積公式，由b，c和sinA的值即可求出△ABC的面積．

解答：解：（1）由題意得：
f（x）=-2cos（

π

2

+x）sin（

π

2

-x）-cos2x
=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

），
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

π

2

+2kπ，解得：-

π

8

+kπ≤x≤

3π

8

+kπ，
所以f（x）的遞增區間為[ -

π

8

+kπ ，

3π

8

+kπ ]k∈N，
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ，解得：

3π

8

+kπ≤x≤

7π

8

+kπ，
所以f（x）的遞減區間為[

3π

8

+kπ ，

7π

8

+kπ ]k∈N；
（2）由f（A）=1，得到

2

sin(2A-

π

4

)=1，即sin(2A-

π

4

)=

2

2

，
由0＜A＜

π

2

，得到2A-

π

4

∈(-

π

4

，

3π

4

)，
所以2A-

π

4

=

π

4

?A=

π

4

，
故S=

1

2

bcsinA=

1

2

×8×sin

π

4

=2

2

．

點評：此題考查學生靈活運用兩角和與差的正弦、余弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡求值，掌握正弦函數的單調區間，靈活運用三角形的面積公式化簡求值，是一道中檔題．