Question

已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率為，短軸一個端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C上的動點(diǎn)P引圓O：x²+y²=b²的兩條切線PA、PB，A、B分別為切點(diǎn)，試探究橢圓C上是否存在點(diǎn)P，由點(diǎn)P向圓O所引的兩條切線互相垂直？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)短軸一個端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為3求出a，然后根據(jù)離心率求出b，最后根據(jù)a、b、c關(guān)系求出b，從而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），若∠APB=90°，則有|OA|=|AP|，建立關(guān)于x和y的一個方程，然后根據(jù)P（x，y）在橢圓上，建立第二個方程，解之即可求出所求．
解答：解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意
∴b=2，∴所求橢圓方程為
（2）如圖，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
若∠APB=90°，則有|OA|=|AP|．
即
有
兩邊平方得x²+y²=8①
又因為P（x，y）在橢圓上，所以4x²+9y²=36②
①，②聯(lián)立解得
所以滿足條件的有以下四組解，，，
所以，橢圓C上存在四個點(diǎn)，，，，
分別由這四個點(diǎn)向圓O所引的兩條切線均互相垂直．
點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，以及圓的切線方程，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題的能力．考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力，此題是個難題．