Question

已知橢圓的焦點F₁（1，0），F₂（-1，0），過P（0，）作垂直于y軸的直線被橢圓所截線段長為，過F₁作直線l與橢圓交于A、B兩點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若A是橢圓與y軸負半軸的交點，求△PAB的面積；
（3）是否存在實數t使，若存在，求t的值和直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設橢圓的標準方程為（a＞b＞0），根據過P（0，）作垂直于y軸的直線被橢圓所截線段長為，可得點（，）在橢圓上，，從而可得橢圓的標準方程；
（2）確定過F₁，A作直線l的方程代入橢圓方程，求出A，B的坐標，從而可求△PAB的面積；
（3）當直線斜率不存在時，可得A，B的坐標，從而可得向量PA，PB，PF₁的坐標，利用，即可求得直線l的方程；當直線斜率存在時，確定向量PA，PB，PF₁的坐標，利用，即可求得直線l的方程．
解答：解：（1）設橢圓方程為（a＞b＞0），
由題意點（，）在橢圓上，a²=b²+1…（2分）
∴，∴b²=1，a²=b²+1=2
∴橢圓的標準方程為…（4分）
（2）由題意，A是橢圓與y軸負半軸的交點，∴A（0，-1）
∵F₁（1，0），∴過F₁，A作直線l的方程為y=x-1，…（5分）
代入橢圓方程可得3x²-4x=0
∴x=0或
∴A（0，-1），B（，），…（7分）
∵P（0，）
∴△PAB的面積為=1…（9分）
（3）當直線斜率不存在時，可得A（1，），B（1，-），
所以，，
由得t=2，直線l的方程為x=1．…（11分）
當直線斜率存在時，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線方程為y=k（x-1）
代入橢圓方程可得（+k²）x²-2k²x+k²-1=0
∴x₁+x₂=
所以，，
由得x₁+x₂=t，…（13分）
因為y₁+y₂=k（x₁+x₂-2），所以
又=t，∴k=-，t=
此時，直線l的方程為y=-（x-1）…（16分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查三角形面積的計算，考查向量知識的運用，考查分類討論的數學思想，綜合性強．