Question

在△ABC中，AB=2，BC=4，∠B=60°，設O是△ABC的內心，若

AO

=p

AB

+q

AC

，則

p

q

=

3

．

Answer 1

分析：由余弦定理算出AC長，從而得到△ABC為以BC為斜邊的直角三角形，得內切圓半徑r=

3

+1．設圓O與AB、AC的切點分別為E、F，連接OE、OF，則OEAF是正方形，所以

AO

=

AE

+

AF

，根據AB、AC的長度與AE、AF長度之間的關系可得用

AB

、

AC

的

AO

線性表示式，即可得到所求p、q的比值．

解答：解：如圖，根據余弦定理得：AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos60°=12
∴AB²+AC²=16=BC²，得△ABC為以BC為斜邊的直角三角形
由此可得△ABC的內內切圓半徑r=

1

2

（AB+AC-BC）=

3

+1
設圓O與AB、AC的切點分別為E、F，連接OE、OF，
則四邊形OEAF是正方形
∵

|AE|

|AB|

=

1+ 3

2

，

|AF|

|AC|

=

1+ 3

2 3

=

3+ 3

6

，

AO

=

AE

+

AF

∴

AO

=

1+ 3

2

AB

+

3+ 3

6

AC

∵已知

AO

=p

AB

+q

AC

∴p=

1+ 3

2

，q=

3+ 3

6

，可得

p

q

=

1+ 3 2

3+ 3 6

=

3

故答案為：

3

點評：本題給出三角形，求向量

AO

線性表示式，著重考查了余弦定理、直角三角形內切圓公式和平面向量基本定理等知識，屬于中檔題．