Question

P是正角形ABC所在平面外一點(diǎn)，M、N分別是AB和PC的中點(diǎn)，且PA=PB=PC=AB=a．
（1）求證：MN是AB和PC的公垂線；
（2）求異面二直線AB和PC之間的距離．

Answer 1

（1）證明：連接AN，BN，
∵△APC與△BPC是全等的正三角形，
又N是PC的中點(diǎn)
∴AN=BN
又∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴MN⊥AB
同理可證MN⊥PC
又∵M(jìn)N∩AB=M，MN∩PC=N
∴MN是AB和PC的公垂線；

（2）在等腰在角形ANB中，
∵AN=BN=

3

2

a，AB=a，
∴MN=

AN2-( 1 2 AB)2

=

2

2

a
即異面二直線AB和PC之間的距離為

2

2

a．