Question

P是正角形ABC所在平面外一點，M、N分別是AB和PC的中點，且PA=PB=PC=AB=a．
（1）求證：MN是AB和PC的公垂線；
（2）求異面二直線AB和PC之間的距離．

Answer 1

分析：（1）連接AN，BN，證明MN⊥AB，MN⊥PC，MN∩AB=M，MN∩PC=N，即可求證：MN是AB和PC的公垂線；
（2）通過（1）等腰在角形ANB中，直接求出異面二直線AB和PC之間的距離．

解答：（1）證明：連接AN，BN，
∵△APC與△BPC是全等的正三角形，
又N是PC的中點
∴AN=BN
又∵M是AB的中點，∴MN⊥AB
同理可證MN⊥PC
又∵MN∩AB=M，MN∩PC=N
∴MN是AB和PC的公垂線；

（2）解：在等腰在角形ANB中，
∵AN=BN=

3

2

a，AB=a，
∴MN=

AN2-( 1 2 AB)2

=

2

2

a
即異面二直線AB和PC之間的距離為

2

2

a．

點評：本題考查用空間向量求直線間的夾角、距離，考查計算能力，轉化思想，是中檔題．