Question

【題目】已知函數定義在區間上，，且當時，恒有，又數列滿足，，設，對于任意的，的最小自然數的值為_______________________________.

Answer 1

【答案】5

【解析】

先明確函數的奇偶性，令x＝an，y＝﹣an，可得f （an）與f （an+1）的關系，求出即可得到，利用最值建立的不等式關系，即可得到結果.

令x＝y＝0時，則由已知有f（0）﹣f（0）＝f（），

可解得f （0）＝0．

再令x＝0，y∈（﹣1，1），則有f（0）﹣f（y）＝f（），即f （﹣y）＝﹣f （y），

∴f （x）是（﹣1，1）上的奇函數．

令x＝an，y＝﹣an，于是f（an）﹣f（﹣an）＝f（），

由已知得2f （an）＝f （an+1），

∴，

∴數列{f（an）}是以f（a1）＝f（）＝﹣1為首項，2為公比的等比數列．

∴f（an）═﹣1×2n﹣1＝2n﹣1

∴，∴

又任意的，

∴，即

故自然數的最小值為5.故答案為：5