Question

已知函數f（x）=e^x-ax-2．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）若a=1，m為整數，且x＞0時，不等式（m+1-x）f（x）+m-2-2x＜0恒成立，求m的最大值．（可能用到的參數考數據：e=2.718，e²=7.389，e³=20.086）

Answer 1

【答案】分析：（1）對f（x）進行求導，令f′（x）=0，求出極值點，利用導數研究函數的單調性；
（2）把a=1代入f（x），因為不等式（m+1-x）f（x）+m-2-2x＜0，可得（m+1-x）（e^x-1）+m-2-2x＜0，再利用分離變量法進行求解；
解答：解：（1）函數f（x）=e^x-ax-2，
f′（x）=e^x-a，若a≤0，則f′（x）＞0，
f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增，
若a＞0，則x∈（-∞，lna）時，f′（x）＞0；
當x∈（lna，+∞）上單調遞減，在（-∞，lna）上單調遞增，
（2）a=1，m為整數，且x＞0時，不等式（m+1-x）f（x）+m-2-2x＜0恒成立，
可得（m+1-x）（e^x-1）+m-2-2x＜0，分離變量得，m＜x-1+
令g（x）=x-1+，x∈（0，+∞），
g′（x）=，
令g（x）=x-1+，x∈（0，+∞），g′（x）=，
令h（x）=e^x-x-2，x∈（0，+∞），
由（1）可知h（x）在（0，+∞）上單調遞減，
又h（1）=e-3＜0，h（）=e²-＞0，
∴必存在x∈（1，），使h（x）=0，
當x∈（0，x）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，
當x∈（x，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）為單調遞減，
∴g（x）_min=g（x）=x-1+，
∵x是方程e^x-x-2=0的根，
∴e^x=x+2，
∴g（x）_min=x-1+=x-1+=，
令m（x）=，x∈（1，），m′（x）=
∴m（x）在（1，）上單調遞減，
∴m（x）∈（，），即g（x）_max∈（，），
∴m的最大值為1．
點評：此題主要考查利用導數研究函數的單調性及其應用，解題的過程中用到常數分離法進行求解，是一道中檔題；