Question

已知某商品進價為a元/件，根據以往經驗，當售價是b（b≥

4

3

a）元/件時，可賣出c件．市場調查表明，當售價下降10%時，銷量可增加40%，現決定一次性降價，銷售價為多少時，可獲得最大利利潤．

Answer 1

分析：設銷售價為x元/件，它比售價b元下降了10y%，根據x=b（1-10y%），可得10y%=

b-x

b

，從而可求出賣出c（1+40y%）=c+4c

b-x

b

，進而得利潤函數L（x）=（x-a）（ c+4c

b-x

b

）=c（x-a）（5-

4

b

x），a＜x＜

5b

4

．利用求導的方法，可求函數L（x）的極大值點，而且也是最大值點．故得解．

解答：解：設銷售價為x元/件，它比售價b元下降了10y%，
從而x=b（1-10y%），故10y%=

b-x

b

．
由題意此時可賣出m件，則m=c（1+40y%）=c+4c

b-x

b

，
從而利潤L（x）=（x-a）（ c+4c

b-x

b

）=c（x-a）（5-

4

b

x），a＜x＜

5b

4

．
令L′（x）=-

8c

b

x+

4ac+5bc

b

=0，解得x=

4a+5b

8

當x∈（a，

4a+5b

8

）時，L′（x）＞0；當x∈（

4a+5b

8

，

5b

4

）時，L′（x）＜0．
因此x=

4a+5b

8

是函數L（x）的極大值點，也是最大值點．
所以，銷售價為

4a+5b

8

元/件時，可獲得最大利潤．
答：銷售價為

4a+5b

8

元/件時，可獲得最大利潤．

點評：本題以實際問題為載體，考查函數模型的構建，考查導數法的運用．最大銷售利潤的問題常利用函數的增減性來解答，要注意應該在自變量的取值范圍內求最大值（或最小值）．