Question

已知某商品進價為a元/件，根據以往經驗，當售價是b（b≥a）元/件時，可賣出c件．市場調查表明，當售價下降10%時，銷量可增加40%，現決定一次性降價，銷售價為多少時，可獲得最大利利潤．

Answer 1

【答案】分析：設銷售價為x元/件，它比售價b元下降了10y%，根據x=b（1-10y%），可得10y%=，從而可求出賣出c（1+40y%）=c+4c，進而得利潤函數L（x）=（x-a）（ c+4c）=c（x-a）（5-x），a＜x＜．利用求導的方法，可求函數L（x）的極大值點，而且也是最大值點．故得解．
解答：解：設銷售價為x元/件，它比售價b元下降了10y%，
從而x=b（1-10y%），故10y%=．
由題意此時可賣出m件，則m=c（1+40y%）=c+4c，
從而利潤L（x）=（x-a）（ c+4c）=c（x-a）（5-x），a＜x＜．
令L′（x）=-x+=0，解得x=
當x∈（a，）時，L′（x）＞0；當x∈（，）時，L′（x）＜0．
因此x=是函數L（x）的極大值點，也是最大值點．
所以，銷售價為元/件時，可獲得最大利潤．
答：銷售價為元/件時，可獲得最大利潤．
點評：本題以實際問題為載體，考查函數模型的構建，考查導數法的運用．最大銷售利潤的問題常利用函數的增減性來解答，要注意應該在自變量的取值范圍內求最大值（或最小值）．