Question

【題目】對于函數(shù) ，我們把使 的實(shí)數(shù) 叫做函數(shù) 的零點(diǎn)，且有如下零

點(diǎn)存在定理：如果函數(shù) 在區(qū)間 上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有 ，那么，函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)有零點(diǎn)．給出下列命題：

①若函數(shù) 在 上是單調(diào)函數(shù)，則 在 上有且僅有一個零點(diǎn)；

②函數(shù) 有 個零點(diǎn)；

③函數(shù) 和 的圖像的交點(diǎn)有且只有一個；

④設(shè)函數(shù) 對 都滿足 ，且函數(shù) 恰有 個不同的零點(diǎn)，則這6個零點(diǎn)的和為18；

其中所有正確命題的序號為________．(把所有正確命題的序號都填上)

Answer 1

【答案】②④

【解析】函數(shù) 在 上是單調(diào)函數(shù)，則 在 上有且僅有一個零點(diǎn)是錯誤的；，例如 在是單調(diào)函數(shù)，但其函數(shù)值恒大于0，無零點(diǎn)；

函數(shù) 有3個零點(diǎn)正確；由于 ，可解得函數(shù) 在區(qū)間 與 上是增函數(shù)，在 是減函數(shù)，故函數(shù)存在極大值 ，極小值 ，故函數(shù)有三個零點(diǎn)；

函數(shù) 和 圖象的交點(diǎn)有且只有一個是錯誤的，因?yàn)閮珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是函數(shù)的零點(diǎn)，
其中 ，所以在直線右側(cè)，函數(shù)有兩個零點(diǎn)．一個在 內(nèi)，一個在 內(nèi)，故函數(shù)

共有3個零點(diǎn)，即函數(shù) 和 的圖象有3個交點(diǎn)．
④設(shè)函數(shù) 對 都滿足 ，且函數(shù) 恰有 個不同的零點(diǎn)，則這6個零點(diǎn)的和為18是正確的，由函數(shù) 對 都滿足，可得函數(shù)的圖象關(guān)于 對稱，又函數(shù) 恰有6個不同的零點(diǎn)，此6個零點(diǎn)構(gòu)成三組關(guān)于 對稱的點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得出這6個零點(diǎn)的和為18．
故答案為②④