Question

如圖△ABC中，A（0，1），B（-2，2），C（2，6）．
（1）寫出△ABC區域D（陰影部分且包括邊界）所表示的二元一次不等組；
（2）已知點（x，y）∈D，求z=2x+y的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過三點可求出三條直線的方程，而后利用特殊點驗證．因三條直線均不過原點，故可由原點（0，0）驗證即可．
（2）先根據（1）畫出可行域，再利用幾何意義求最值，z=2x+y表示直線在y軸上的截距，只需求出可行域直線在y軸上的截距最大值與最小值即可．
解答：解：（1）設直線AB的方程為：kx-y+b=0，而A（0，1），B（-2，2）在直線AB上，則，解得，b=1，從而直線AB的方程為x+2y-2=0；
同理，直線BC的方程為x-y+4=0，直線AC的方程為5x-2y+2=0，
∴原點（0，0）不在各直線上，將原點坐標代入到各直線方程左端，結合式子的符號可得△ABC區域D（包括邊界）所表示的二元一次不等組為：…（6分）
（2）令z=0，作出2x+y=0的圖象，通過平移2x+y=0可知：…（7分）
z=2x+y經過點B時，截距最小，此時z=-4+2=-2；…（9分）
z=2x+y經過點C時，截距最大，此時z=4+6=10，…（11分）
所以z的取值范圍是[-2，10]…（12分）
點評：本題考查兩點式求直線的方程、通過特殊點驗區域對應的不等式，考查了用平面區域二元一次不等式組，以及簡單的轉化思想和數形結合的思想，屬中檔題．