Question

證明函數f(x)=-x²+2x在(-∞,1］上是增函數.

Answer 1

思路分析:證明本例所依據的大前提是增函數的定義,即函數滿足:在給定區間內任取自變量的兩個值x₁,x₂,若x₁＜x₂,則有f(x₁)＜f(x₂).小前提是f(x)=-x²+2x,x∈(-∞,1］滿足函數的定義,這是證明本例的關鍵.

證明:任取x₁,x₂∈(-∞,1］,且x₁＜x₂,

f(x₁)-f(x₂)=(-x₁²+2x₁)-(-x₂²+2x₂)

=(x₂-x₁)(x₂+x₁-2).

∵x₁＜x₂,∴x₂-x₁＞0;

∵x₁,x₂≤1,x₁≠x₂,∴x₂+x₁-2＜0.

因此f(x₁)-f(x₂)＜0,即f(x₁)＜f(x₂).

于是,根據“三段論”,得f(x)=-x²+2x在(-∞,1］上是增函數.