Question

已知函數f（x）=

x+a

x2+2

（x∈R）．
（1）寫出函數y=f（x）的奇偶性；
（2）當x＞0時，是否存實數a，使v=f（x）的圖象在函數g（x）=

2

x

圖象的下方，若存在，求α的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數奇偶性的判斷

專題：函數的性質及應用

分析：（1）當a=0時，f（x）=

x

x2+2

是奇函數； 當a≠0時，函數f（x）=

x+a

x2+2

（x∈R），是非奇非偶函數． 
（2）若y=f（x）的圖象在函數g（x）=

2

x

圖象的下方，則

x+a

x2+2

＜

2

x

，化簡得a＜

4

x

+x恒成立，在求函數的最值．

解答： 解：（1）因為y=f（x）的定義域為R，所以：
當a=0時，f（x）=

x

x2+2

是奇函數；        
當a≠0時，函數f（x）=

x+a

x2+2

（x∈R）．是非奇非偶函數． 
（2）當x＞0時，
若y=f（x）的圖象在函數g（x）=

2

x

圖象的下方，則

x+a

x2+2

＜

2

x

，
化簡得a＜

4

x

+x恒成立，
因為x＞0，∴x+

4

x

≥2

x 4 x

=4
即(x+

4

x

)≥4，
所以，當a＜4時，y=f（x）的圖象都在函數g（x）=

2

x

圖象的下方．

點評：本題主要考查函數的奇偶性，同時考查函數恒成立的問題，主要進行函數式子的恒等轉化．