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若向量
a
與
b
不共線，且|
a
|=4，|
b
|=3．
（Ⅰ）k為何值時，向量
a
+k
b
與
a
-k
b
互相垂直；
（Ⅱ）若（2
a
-3
b
）（2
a
+
b
）=61，求
a
與
b
的夾角θ．
分析：（Ⅰ）
a
+k
b
與
a
-k
b
垂直時，（
a
+k
b
）•（
a
-k
b
）=0，利用數量積運算即可解得k值；

（Ⅱ）利用數量積的運算性質及數量積及數量積定義化簡等式可求得答案；
解答：解：（Ⅰ）
a
+k
b
與
a
-k
b
垂直時，（
a
+k
b
）•（
a
-k
b
）=0，
所以
a
2-k2
b
2=0，即16-9k2=0，解得k=±
4
3
，
所以當k=±
4
3
時，向量
a
+k
b
與
a
-k
b
互相垂直；
（Ⅱ）（2
a
-3
b
）•（2
a
+
b
）=61，即4
a
2-4
a
•
b
-3
b
2=61，
所以4×42-4×4×3cosθ-3×32=61，解得cosθ=-
1
2
，
所以
a
與
b
的夾角θ為120°．
點評：本題考查平面向量數量積的運算、數量積表示兩個向量的夾角，屬中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

若向量
a
與
b
不共線，
a
•
b
≠0，且
c
=
a
-(
a
•
a
a
•
b
)
b
，則向量
a
與
c
的夾角為（　　）
A、0
B、
π
6
C、
π
3
D、
π
2

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科目：高中數學 來源： 題型：

下列命題中正確的有（　　）
①若向量a與b滿足a•b＜0，則a與b所成角為鈍角；
②若向量a與b不共線，m=λ1•a+λ2•b，n=μ1•a+μ2•b，（λ1，λ2μ1，μ2∈R），則m∥n的充要條件是λ1•μ2-λ2•μ1=0；
③若
OA 
+
OB
+
OC 
=0，且|
OA 
|=|
OB
|=|
OC 
|，則△ABC是等邊三角形；
④若a與b非零向量，a⊥b，則|a+b|=|a-b|．
A、②③④B、①②③C、①④D、②

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科目：高中數學 來源： 題型：

若向量
a
與
b
不共線，
a
•
b
≠0，且
c
=
a
-
(
a
•
a
)
b
a
•
b
，則向量
a
與
c
的夾角為（　　）
A、
π
2
B、
π
6
C、
π
3
D、0

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科目：高中數學 來源： 題型：

若向量
a
與
b
不共線，
a
•
b
≠0，且
c
=(
a
•
b
a
•
a
)
a
-
b
，則向量
a
•
c
的夾角為
π
2
π
2
．

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