Question

已知數列{a_n}中a₁=2，前n項的和為S_n，且4tS_n+1-（3t+8）S_n=8t，其中t＜-3，n∈N*；
（1）證明數列{a_n}為等比數列；
（2）判定{a_n}的單調性，并證明．

Answer 1

解（1）證明：∵4tS_n+1-（3t+8）S_n=8t①
當n=1時，4t（a₁+a₂）-（3t+8）a₁=8t而a₁=2（2分）
又∵4tS_n-（3t+8）S_n-1=8t②（n≥2）
由①②得4ta_n+1-（3t+8）a_n=0
即（n≥2，∴t＜-3）（4分）
而
∴{a_n}是等比數列（8分）

（2）∵a_n=2（＞0（∵t＜-3）（12分）
∵t＜-3∴（14分）
則
∴{a_n}為遞減數列（16分）
分析：（1）由4tS_n+1-（3t+8）S_n=8t按照通項與前n項和間的關系，分當n=1和n≥2兩種情況探求得4ta_n+1-（3t+8）a_n=0，進而變形得（n≥2，∴t＜-3）由等比數列的定義判斷．
（2）因為是正項數列，可用作商比較法＜1得到{a_n}為遞減數列．
點評：本題主要考查數列的通項與前n項和之間的關系和判斷數列的方法，一般用定義或通項公式，證明數列是單調數列時往往用比較法．