Question

如圖，ABCD的邊長為2的正方形，直線l與平面ABCD平行，E和F是l上的兩個不同點，且EA=ED，FB=FC，E′和F′是平面ABCD內的兩點，E′E和F′F都與平面ABCD垂直，
（1）證明：直線E′F′垂直且平分線段AD：
（2）若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多面體ABCDEF的體積．

Answer 1

分析：（1）根據EA=ED且EE'⊥平面ABCD證出E'D=E'C，則點E'在線段AD的垂直平分線上，同理證出F'在線段BC的垂直平分線上，再由ABCD是正方形證出結論；
（2）根據圖形連接EB、EC，由題意證出BE=FC=2，則多面體ABCD可分割成正四棱錐E-ABCD和正四面體E-BCF，根據條件求出這兩個幾何體的體積，求V_E-BCF需要換低求出．

解答：解：（1）∵EA=ED且EE'⊥平面ABCD，∴E'D=E'C，
∴點E'在線段AD的垂直平分線上，同理點F'在線段BC的垂直平分線上．
又∵ABCD是正方形，
∴線段BC的垂直平分線也就是線段AD的垂直平分線
即點E′F′都居線段AD的垂直平分線上，
∴直線E′F′垂直平分線段AD．

（2）連接EB、EC，設AD中點為M，
 由題意知，，AB=2，∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，∴ME=

3

，BE=FC=2，
則多面體ABCD可分割成正四棱錐E-ABCD和正四面體E-BCF兩部分，
在Rt△MEE 中，由于ME'=1，ME=

3

，∴EE'=

2

，
∴V_E-ABCD=

1

3

S_{正方形ABCD}•EE'=

1

3

×4×

2

=

4 2

3

，
∵V_E-BCF=V_C-BEF=V_C-BEA=V_E-ABC
=

1

3

S_△ABC•EE'=

1

3

× 

1

2

×4

2

=

2

3

2

，
∴多面體ABCDEF的體積為V_E-BCF+V_E-ABCD=2

2

．

點評：本題是關于線面垂直與組合體體積的求法綜合題，利用線面垂直和線段相等證明垂直平分；用分割法可求得多面體體積，體現的是一種部分與整體的基本思想，求三棱錐的體積時常用換低來求解，考查了推理論證和邏輯思維能力．