Question

17.   已知函數F(x)=Asin²(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜)，且y＝f(x)的最大值為2，其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，并過點(1，2)．

   (Ⅰ)求φ；

   (Ⅱ)計算f(1)+f(2)+…+f(2008)．

Answer 1

解：(Ⅰ)y=Asin²(ωx+φ)=cos(2ωx+2φ).

    ∵y=f(x)的最大值為2，＞0，

    ∴=2，=2．

    又∵其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，ω＞0，

    ∴＝2，ω＝.

    ∴f(x)=cos(+2φ)=1-cos(+2φ).

    ∵y＝f(x)過(1，2)點，

    ∴cos(+2φ)=-1．

    ∴+2φ＝2kπ+π，k∈Z，

    ∴2φ＝2kπ+，k∈Z，

    ∴φ=kπ+，k∈Z．

    又∵0＜φ＜，

    ∴φ=.

 

    (Ⅱ)解法一：∵φ=，

                ∴y=1-cos(x+)=1+sinx．

    ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4．

    又∵y=f(x)的周期為4，2008=4×502．

    ∴f(1)+f(2)+…+f(2008)=4×502＝2008．

 

    解法二：∵f(x)=2sin²(x+φ)

 

               ∴f(1)+f(3)＝2sin²(+φ)+2sin²(+φ)=2，

 

   f(2)+f(4)=2sin²(+φ)+2sin²(π+φ)=2，

 

    ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4．

 

    又y＝f(x)的周期為4，2008＝4×502．

 

                ∴f(1)+f(2)+…+f(2008)=4×502＝2008．