Question

（2013•牡丹江一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB丄平面PAD，PD=AD，E為PB的中點，向量

DF

=

1

2

AB

，點H在AD上，且

PH

•

AD

=0
（I）EF∥平面PAD．
（II）若PH=

3

，AD=2，AB=2，CD=2AB，
（1）求直線AF與平面PAB所成角的正弦值．
（2）求平面PAD與平面PBC所成二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明EF∥平面PAD，是證線面平行，可想到在平面PAD內找到一條與EF平行的直線，由E為PB的中點，想到取PA的中點Q，通過三角形的中位線知識證明四邊形EFDQ為平行四邊形，從而證出EF∥DQ，則證出EF∥平面PAD．
（Ⅱ）（1）由已知條件證出PH⊥平面ABCD，在平面ABCD內過H作AB的平行線后得到三條兩兩互相垂直的線段，然后以H為坐標原點建立空間直角坐標系，求出平面PAB的法向量，則向量

AF

與平面PAB的法向量所成角的余弦值的絕對值為直線AF與平面PAB所成角的正弦值．
（2）求出平面PAD與平面PBC的法向量，由兩個法向量所成角的余弦值求平面PAD與平面PBC所成二面角的平面角的余弦值．

解答：（Ⅰ）證明：如圖，
 取PA的中點Q，連結EQ、DQ，
則∵E是PB的中點，∴EQ∥AB，且EQ=

1

2

AB，
又∵

DE

=

1

2

AB

，∴DF∥AB，且DF=

1

2

AB，∴EQ∥DF，且EQ=DF，
∴四邊形EQDF為平行四邊形，∴EF∥QD，
又∵EF?平面PAD，且DQ?平面PAD，∴EF∥平面PAD；
（Ⅱ）解：（1）由

PH

•

AD

=0，得PH⊥AD，
∵AB⊥平面PAD，∴AB⊥PH，又AD∩AB=A，∴PH⊥平面ABCD，
在平面ABCD內過點H作HG∥AB，∴HG⊥平面PAD，
以H為原點，分別以HA，HG，GP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系H-xyz，
∵PD=AD=2PH=

3

，∴在Rt△PHD中，HD=

PD2-PH2

=

22-( 3 )2

=1，
∴H為AD中點，則A（1，0，0），P(O，O，

3

)，B（1，2，0），E(

1

2

，1，

3

2

)，F（-1，1，0），
∴

AF

=(-2，1，0)，
設平面PAB的一個法向量為

n

=(x，y，z)，
∵

PA

=(1，0，-

3

)，

PB

=(1，2，-

3

)，
由

n ⊥ PA n ⊥ PB

，得

n • PA =0 n • PB =0

，∴

x- 3 z=0 x+2y- 3 z=0

，令z=

3

，得x=3，y=0．
∴

n

=(3，0，

3

)
設直線AF與平面PAB所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜

AF

，

n

＞|=|

AF • n

| AF || n |

|=|

-2×3

(-2)2+12 × 32+( 3 )2

|=

3

5 × 3

=

15

5

∴直線AF與平面PAB所成角的正弦值為

15

5

．
（2）顯然向量

AB

為平面PAD的一個法向量，且

AB

=(0，2，0)
設平面PBC的一個法向量為n₁=（x₁，y₁，z₁），

PB

=(1，2，-

3

)，

BC

=(-2，2，0)，
由

PB

•

n1

=0，得到x1+2y1-

3

z1=0
由

Bc

•

n1

=0，得到-2x₁+2y₁=0，
令x₁=1，則y1=1，z1=

3

，所以n1=(1，1，

3

)，
∴cos＜

AB

，

n1

＞=

AB • n1

| AB || n1 |

=

2×1

2× 1+1+( 3 )2

=

5

5

，
所以平面PAD與平面PBC所成二面角的平面角的余弦值為

5

5

．

點評：本題考查了直線與平面平行的判定，考查了直線與平面所成角的求法，考查了二面角的平面角的求法，利用空間向量求線面角時，平面的斜線上任一向量與平面的任意一法向量所成角的余弦值的絕對值即為直線和平面所成角的正弦值，此題是中檔題．