Question

（05年浙江卷文）（14分）

如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在x軸上，長軸A₁A₂的長為4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M，|MA₁|∶|A₁F₁|＝2∶1．

   (Ⅰ)求橢圓的方程；

   (Ⅱ)若點(diǎn)P為l上的動點(diǎn)，求∠F₁PF₂最大值．

Answer 1

解析：(Ⅰ)設(shè)橢圓的方程為(a>0,b>0),半焦距為c,則|MA₁|=,|A₁F₁|=a-c
由題意,得∴a=2,b=,c=1.

故橢圓的方程為

(Ⅱ)設(shè)P(-4,y₀),y₀≠0,

∴只需求tan∠F₁PF₂的最大值即可.

設(shè)直線PF₁的斜率k₁=,直線PF₂的斜率k₂=,

∵0<∠F₁PF₂<∠PF₁M<,∴∠F₁PF₂為銳角.

∴tan∠F₁PF₂=

當(dāng)且僅當(dāng),即|y₀|=時(shí),tan∠F₁PF₂取到最大值此時(shí)∠F₁PF₂最大,∴

∠F₁PF₂的最大值為arctan.