Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數，且當x＞0時，f（x）=2x-1．
（1）求f（x）的解析式
（2）寫出f（x）的單調區間；
（3）求滿足f（-m）=f（m）的實數m的值．

Answer 1

分析：（1）先根據奇函數的性質推斷出f（0）=0，進而把-x代入x＞0時函數的解析式，利用奇數函數的性質求得x＜0的解析式，最后利用分段函數表示即可；
（2）根據一次函數的單調性與一次項系數的符號有關可分別判定函數在（-∞，0）與（0，+∞）上的單調性；
（3）先根據奇偶性可得f（m）=0，然后討論m，根據函數值求相應的m即可．

解答：解：（1）因為函數f（x）是定義在R上的奇函數，根據其對稱性可知f（0）=0，
當x＜0時，-x＞0
則f（-x）=2（-x）-1=-f（x）
∴x＜0時，f（x）=2x+1
∴f（x）=

2x-1   x＞0 0        x=0 2x+1  x＜0

（2）當x＞0時，f（x）=2x-1，根據一次函數的性質可知函數在（0，+∞）上單調遞增
當x＜0時，f（x）=2x+1，根據一次函數的性質可知函數在（-∞，0）上單調遞增
∴f（x）在（-∞，0）、（0，+∞）上單調遞增
（3）∵f（-m）=f（m），f（x）是定義在R上的奇函數
∴-f（m）=f（m）即f（m）=0
當m＞0時，f（m）=2m-1=0，解得m=

1

2

當m=0時，f（0）=0，滿足條件
當m＜0時，f（m）=2m+1=0，解得m=-

1

2

∴滿足f（-m）=f（m）的實數m的值為-

1

2

，0，

1

2

．

點評：本題主要考查了函數的解析式，以及函數的奇偶性和求函數值，同時考查了分類討論的數學思想，屬于基礎題．