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已知定義在R上的函數滿足:f(x)=
x2+2,x∈[0,1)
2-x2,x∈[-1,0)
,且f(x+2)=f(x),g(x)=
2x+5
x+2
,則方程f(x)=g(x)在區間[-7,3]上的所有實數根之和為(  )
A、-9B、-10
C、-11D、-12
考點:函數的周期性,分段函數的應用
專題:函數的性質及應用
分析:將方程根的問題轉化為函數圖象的交點問題,由圖象讀出即可.
解答:解:∵f(x)=
x2+2,x∈[0,1)
2-x2,x∈[-1,0)
,且f(x+2)=f(x),
∴f(x-2)-2=
x2,x-2∈[0,1)
-x2,x-2∈[-1,0)

又g(x)=
2x+5
x+2
,則g(x)=2+
1
x+2

g(x-2)-2=
1
x

當x≠2k-1,k∈Z時,
上述兩個函數都是關于(-2,2)對稱,


由圖象可得:方程f(x)=g(x)在區間[-7,3]上的實根有5個,
x1=-3,x2滿足-5<x2<-4,x3滿足0<x3<1,x2+x3=-4
x4滿足-7<x4<-6,x3滿足2<x5<3,x4+x5=-4
∴方程f(x)=g(x)在區間[-7,3]上的所有實根之和為-11.
故答案為;C.
點評:本題考查函數的零點與方程根的關系以及數形結合的思想,數形結合是數學解題中常用的思想方法,能夠變抽象思維為形象思維,有助于把握數學問題的本質.
練習冊系列答案
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B、4
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1
8
D、
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4

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D、
4

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x+2
1-x2
+1
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x
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