Question

在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，底面是邊長為1的正方形，E、G、F分別是棱B₁B、D₁D、DA的中點．
（Ⅰ）求證：平面AD₁E∥平面BGF；
（Ⅱ）求證：D₁E⊥平面AEC．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲證平面AD₁E∥平面BGF，根據面面平行的判定定理可知只需在一個平面內找兩相交直線與另一平面平行，根據中位線可知BE∥D₁F且BE=D₁F，則四邊形BED₁F為平行四邊形即D₁E∥BF，又D₁E?平面AD₁E，BF?平面AD₁E，根據線面平行的判定定理可知BF∥平面AD₁E，同理可證GF∥AD₁，又AD₁?平面AD₁E，GF?平面AD₁E，從而GF∥平面AD₁E，又BF∩GF=F，滿足定理所需的條件；
（Ⅱ）根據AD₁²=D₁E²+AE²可知D₁E⊥AE，而AC⊥BD，AC⊥D₁D，根據線面垂直的判定定理可知AC⊥平面BD₁，又D₁E?平面BD₁，AC⊥D₁E，
又AC∩AE=A，AC?平面AEC，AE?平面AEC．根據線面垂直的判定定理可知D₁E⊥平面AEC．
解答：證明：（Ⅰ）∵E，F分別是棱BB₁，DD₁中點∴BE∥D₁F且BE=D₁F
四邊形BED₁F為平行四邊形∴D₁E∥BF
又D₁E?平面AD₁E，BF?平面AD₁E∴BF∥平面AD₁E（3分）
又G是棱DA的中點∴GF∥AD₁
又AD₁?平面AD₁E，GF?平面AD₁E∴GF∥平面AD₁E（6分）
又BF∩GF=F
平面AD₁E∥平面BGF（7分）
（Ⅱ）AA₁=2，AD₁=，
同理AE=AD₁²=D₁E²+AE²，∴D₁E⊥AE（10分）
∵AC⊥BD，AC⊥D₁D，∴AC⊥平面BD₁，又D₁E?平面BD₁，AC⊥D₁E，
又AC∩AE=A，AC?平面AEC，AE?平面AEC．所以D₁E⊥平面AEC．（13分）
點評：本題主要考查了平面與平面平行的判定，以及線面垂直的判定，應熟練記憶平面與平面平行的判定定理和線面垂直的判定定理．