Question

（本題滿分14分）
如圖， ABCD為矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB=4a，BC= CF=2a，DE=a， P為AB的中點.

（1）求證：平面PCF⊥平面PDE；
（2）求證：AE∥平面BCF.

Answer 1

證明：（1）在矩形ABCD中，由AP=BP=BC=2a可得PC=PD=………………1分
又CD=4a，由勾股定理可得PD⊥PC……………………3分
因為CF⊥平面ABCD，則PD⊥CF……………………5分
由PCCF=C可得PD⊥平面PFC……………………6分
故平面PCF⊥平面PDE……………………7分
（2）作FC中點M，連接EM、BM
由CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD可得CM∥DE，又CM=DE=a，得四邊形DEMC為平行四邊形……………………9分
故ME∥CD∥AB，且ME=D=AB，所以四邊形AEMB為平行四邊形
故AE∥BM……………………12分
又AE平面BCF，BM平面BCF，所以AE∥平面BCF. ……………………14分
注：本題也可以用平面ADE∥平面BCF證。

略