Question

已知f（x）是定義域為R的奇函數，f（-4）=-1，f（x）的導函數f′（x）的圖象如圖所示．若兩正數a，b滿足f（a+2b）＜1，則

a+2

b+2

的取值范圍是（　�。�

• A、(

  1

  3

  ，2)
• B、(

  1

  2

  ，3)
• C、（-1，10）
• D、（-∞，-1）

Answer 1

分析：先由導函數f′（x）是過原點的二次函數入手，再結合f（x）是定義域為R的奇函數求出f（x）；然后根據a、b的約束條件畫出可行域，最后利用

a+2

b+2

的幾何意義解決問題．

解答：解：由f（x）的導函數f′（x）的圖象，設f′（x）=mx²，則f（x）=

1

3

mx3+n．
∵f（x）是定義域為R的奇函數，∴f（0）=0，即n=0．
又f（-4）=

1

3

m×（-64）=-1，∴f（x）=

1

64

x³=(

x

4

)3．
且f（a+2b）=(

a+2b

4

)3＜1，∴

a+2b

4

＜1，即a+2b＜4．
又a＞0，b＞0，則畫出點（b，a）的可行域如下圖所示．

而

a+2

b+2

可視為可行域內的點（b，a）與點M（-2，-2）連線的斜率．
又因為k_AM=3，k_BM=

1

2

，所以

1

2

＜

a+2

b+2

＜3．
故選B．

點評：數形結合是數學的基本思想方法：遇到二元一次不定式組要考慮線性規劃，遇到

y-b

x-a

的代數式要考慮點（x，y）與點（a，b）連線的斜率．這都是由數到形的轉化策略．