Question

已知函數f(x)=( 

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 )x-log2x，正實數a、b、c成公差為正數的等差數列，滿足f （a） f （b） f （c）＜0，且實數d是方程f （x）=0的一個解．給出下列四個不等式：①d＜a，②d＞b，③d＜c，④d＞c，其中有可能成立的不等式的序號是

 

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Answer 1

分析：由題意知，函數f(x)=( 

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 )x-log2x 在定義域內是個減函數，由f （a） f （b） f （c）＜0，可得f （a）、f （b）、f （c）全都小于0，或者兩個大于0且一個小于0．由已知條件：實數d是方程f （x）=0的一個解知，f（d）=0，由此可得 a、b、c、d 的大小關系．

解答：解：函數f(x)=( 

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 )x-log2x是個減函數，定義域為正實數集，
∵正實數a、b、c成公差為正數的等差數列，
∴0＜a＜b＜c，
∵f （a） f （b） f （c）＜0，
∴f （a）、f （b）、f （c）全部小于0      （1），
或 f （a）＞0，f （b）＞0，f （c）＜0             （2），
∵由已知 實數d是方程f （x）=0的一個解，故有 f（d）=0，
由（1）得：d＜a，d＜b，d＜c，故有 ①③成立．
由（2）得：d＞a，d＞b，d＜c，故有 ②③成立．
故答案為 ①②③．

點評：本題考查利用函數的單調性及特殊點判斷自變量的大小關系，體現了分類討論的數學思想．