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求半徑為R的球的內接正三棱錐的最大體積．
解 如圖，S－ABC是球O的內接正三棱錐，它的高=h，SO=AO=BO=CO=R．
∵為正三角形ABC的中心，
∴．
在Rt△中，，
當4R－2h=h，即h=R時，球O的內接正三棱錐的體積最大，這一最大體積為．
應當注意，這時，O是的一個四等分點．易知這時SA=AB，即S－ABC是正四面體，球心O是這個正四面體的中心，正四面體的中心是高的一個四等分點．把這個結論與正三角形的中心是高的一個三等分點聯系一下，就會發現其中的類似之處．
科目：高中數學 來源： 題型：
科目：高中數學 來源：數學教研室 題型：044
科目：高中數學 來源：2011年高三數學復習（第5章 不等式）：5.3 基本不等式（解析版） 題型：解答題
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=h，SO=AO=BO=CO=R．
為正三角形ABC的中心，
．
中，
，
R時，球O的內接正三棱錐的體積最大，這一最大體積為
．
，O是
的一個四等分點．易知這時SA=AB，即S－ABC是正四面體，球心O是這個正四面體的中心，正四面體的中心是高的一個四等分點．把這個結論與正三角形的中心是高的一個三等分點聯系一下，就會發現其中的類似之處．
