Question

已知函數f（x）=2^x反函數為f^-1（x），若f^-1（m）+f^-1（n）=2，則

1

m

+

1

n

的最小值為（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  1

  2

• C、1
• D、2

Answer 1

分析：本題考查反函數的概念、反函數的求法、指數式和對數式的互化、對數的運算、由基本不等式

a+b

2

≥

ab

求最值等相關知識．根據y=2^x可得f^-1（x）的解析式，由此代入f^-1（m）+f^-1（n）=2可得a、b的關系式，根據基本不等式

a+b

2

≥

ab

即可得到

1

a

+

1

b

最小值．

解答：解：由y=2^x解得：x=log₂y
∴函數f（x）=2^x的反函數為f^-1（x）=log₂x，x＞0
由f^-1（m）+f^-1（n）=2得：log₂m+log₂n=2
即：log₂mn=2
∴mn=4
∴

1

m

+

1

n

≥2

1 mn

=2

1 4 =

1
則

1

m

+

1

n

的最小值為1
故選C．

點評：本題小巧靈活，用到的知識比較豐富，具有綜合性特點，涉及了反函數、指數式和對數式的互化、對數的運算、由基本不等式

a+b

2

≥

ab

求最值等多方面的知識，是這些內容的有機融合，思維密度較大；解題中用注意對數的運算公式化簡log₂a+log₂b=4得a、b的關系式．