Question

（2010•武昌區模擬）已知數列{a_n}，{b_n}滿足a1=

1

2

，b1=-

1

2

，且對任意m，n∈N^*，有a_m+n=a_m•a_n，b_m+n=b_m+b_n．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若數列{c_n}滿足bn=

4cn+n

3cn+n

，試求{c_n}的通項公式并判斷：是否存在正整數M，使得對任意n∈N^*，c_n≤c_M恒成立．
（3）若數列{d_n}滿足dn=

an

cn

，求證：當n≥2時，-

5

2

＜

n

k=1

dk＜an-

5

2

．．

Answer 1

分析：（1）由已知，對任意m，n∈N^*，有a_m+n=a_m•a_n，b_m+n=b_m+b_n，取m=1，可得數列{a_n}，{b_n}分別為等比，等差數列，即可求出它們的通項公式；
（2）根據b_n求出c_n的通項公式，然后可判定數列{c_n}為遞減數列，c_n的最大值為c₁，故存在M=1，使得對任意n∈N^*，c_n≤c₁恒成立；
（3）先求出d_n的通項公式，然后求出

n

k=1

dk，而當n≥2時，0＜

3n+5

2n(n2+3n+2)

＜

1

2n

=an，從而證得結論．

解答：解：（1）由已知，對任意m，n∈N^*，
有a_m+n=a_m•a_n，b_m+n=b_m+b_n．
取m=1，得an+1=a1an=

1

2

an，bn+1=b1+bn=-

1

2

+bn．
所以數列{a_n}，{b_n}分別為等比，等差數列．
∴an=

1

2

•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n     bn=-

1

2

+(n-1)(-

1

2

)=-

n

2

…（4分）
（2）由bn=

4cn+n

3cn+n

，
得cn=-

n2+2n

3n+8

．
∵cn+1-cn=-

3n2+19n+24

(3n+8)(3n+11)

＜0．
∴數列{c_n}為遞減數列，c_n的最大值為c₁．
故存在M=1，使得對任意n∈N^*，c_n≤c₁恒成立…（8分）
（3）∵dn=

an

cn

=-

3n+8

2n•n(n+2)

=

1

2n•(n+2)

-

1

2n-1n

∴

n

k=1

dk=(

1

21•3

-

1

2-1•1

)+(

1

22•4

-

1

20•2

)+…+(

1

2n(n+2)

-

1

2n-2n

)
=-

1

2-1•1

-

1

20•2

+

1

2n-1(n+1)

+

1

2n(n+2)

=-

5

2

+

3n+5

2n(n2+3n+2)

而當n≥2時，0＜

3n+5

2n(n2+3n+2)

＜

1

2n

=an
∴-

5

2

＜

n

k=1

dk＜an-

5

2

．…（13分）

點評：本題主要考查了等差數列與等比數列的通項公式，以及數列的單調性和取值范圍等問題，屬于中檔題．