Question

設x，y滿足

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

，若目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為24，則

6

a

+

4

b

的最小值為（　�。�

A．4

B．8

C．12

D．24

Answer 1

分析：由約束條件

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

，畫出可行域．目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）變形為y=-

a

b

x+

z

b

．作出函數y=-

a

b

x，向上平移，當直線y=-

a

b

x+

z

b

經過點A時，焦距

z

b

取得最大值，求出點A的坐標，即可得出a，b滿足的條件，再利用“乘1法”和基本不等式即可得出答案．

解答：解：設x，y滿足

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

，畫出可行域，
目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）變形為y=-

a

b

x+

z

b

．
∵a＞0，b＞0，∴-

a

b

＜0．
作出函數y=-

a

b

x，向上平移，當直線y=-

a

b

x+

z

b

經過點A時，焦距

z

b

取得最大值，
即z取得最大值24．
聯立

3x-y-6=0 x-y+2=0

解得

x=4 y=6

，即A（4，6）．
∴24=4a+6b，化為12=2a+3b．
∴

6

a

+

4

b

=

1

12

(2a+3b)(

6

a

+

4

b

)=

1

6

(12+

9b

a

+

4a

b

)≥

1

6

(12+2

9b a × 4a b

)=4，當且僅當3b=2a=6時取等號．
則

6

a

+

4

b

的最小值為4．
故選A．

點評：本題綜合考查了線性規劃的約束條件和可行域、目標函數、最優解、基本不等式等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．