Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)，又是周期為3的周期函數(shù)，當x∈(0，

3

2

)時，f(x)=sinπx，f(

3

2

)=0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，6]上的零點個數(shù)為

9

個．

Answer 1

分析：要求方程f（x）=0在區(qū)間[0，6]上的解的個數(shù)，根據(jù)函數(shù)f（x）是定義域為R的周期為3的奇函數(shù)，且當x∈（0，

3

2

）時f（x）=sinπx，我們不難得到一個周期函數(shù)零點的個數(shù)，根據(jù)周期性進行分析不難得到結論．

解答：解：∵當x∈（0，

3

2

）時，f（x）=sinπx，
令f（x）=0，則sinπx=0，解得x=1．
又∵函數(shù)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，
∴在區(qū)間∈[-

3

2

，

3

2

]上，
f（-1）=f（1）=f（

3

2

）=f（-

3

2

）=0，
f（0）=0，
∵函數(shù)f（x）是周期為3的周期函數(shù)，
則方程f（x）=0在區(qū)間[0，6]上的解有0，1，

3

2

，2，3，4，

9

2

，5，6．
共9個．
故答案為：9．

點評：若奇函數(shù)經(jīng)過原點，則必有f（0）=0，這個關系式大大簡化了解題過程，要注意在解題中使用．如果本題所給區(qū)間為開區(qū)間，則答案為7個，若區(qū)間為半開半閉區(qū)間，則答案為8個，故要注意對端點的分析．