Question

已知雙曲線

y2

16

-

x2

9

=1的上焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A（1，6），在雙曲線上求一點(diǎn)P，使得|PA|+

4

5

|PF|的值最小（　　）

• A．(1，

  4 10

  3

  )
• B．(1，-

  4 10

  3

  )
• C．(

  3 5

  2

  ，6)
• D．(-

  3 5

  2

  ，6)

Answer 1

分析：由雙曲線

y2

16

-

x2

9

=1的離心率e=

5

4

，知

4

5

|PF|=|PB|，由此得到|PA|+

4

5

|PF|的值最小時(shí)的P點(diǎn)的坐標(biāo)是過點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線與拋物線的上支的交點(diǎn)，從而能求出結(jié)果．

解答：解：∵雙曲線

y2

16

-

x2

9

=1的離心率e=

5

4

，
∴

|PF|

|PB|

=

5

4

，即

4

5

|PF|=|PB|，
∴|PA|+

4

5

|PF|的值最小時(shí)的P點(diǎn)的坐標(biāo)是過點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線與拋物線的上支的交點(diǎn)，
∵A（1，6），∴設(shè)P（1，y），
把P（1，y）代入雙曲線

y2

16

-

x2

9

=1，得

y2

16

-

1

9

=1，解得y=±

4 10

3

．
∴P（1，

4 10

3

）．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．