Question

設函數f（x）=|x+1|+|ax+1|，已知f（-1）=f（1），且f(-

1

a

)=f(

1

a

)（a∈R，且a≠0），函數g（x）=ax³+bx²+cx（b∈R，c為正整數）有兩個不同的極值點，且該函數圖象上取得極值的兩點A、B與坐標原點O在同一直線上．
（1）試求a、b的值；
（2）若x≥0時，函數g（x）的圖象恒在函數f（x）圖象的下方，求正整數c的值．

Answer 1

分析：（1）根據f（-1）=f（1），且f(-

1

a

)=f(

1

a

)（a∈R，且a≠0），求出a的值，再對函數g（x）求導，根據函數g（x）=ax³+bx²+cx有兩個不同的極值點，可以得到△＞0，根據極值點共線A、B與坐標原點O可解出b的值．
（2）因為x≥0時，函數g（x）的圖象恒在函數f（x）圖象的下方，值當x≥0，g（x）恒小于f（x），所以g（x）的最大值恒小于f（x）的最小值，利用導數求出g（x）的最大值和f（x）的最小值，比較大小即可．

解答：解：（1）∵f（-1）=f（1），∴|1-a|=2+|a+1|①
又f(-

1

a

)=f(

1

a

)，
∴|1-

1

a

|=|

1

a

+1|+2，即|1-a|=2|a|+|a+1|②
由①②得|a|=1，
∴a=±1．
又∵a=1時，①、②不成立，
故∴a=-1．
∴g（x）=-x³+bx²+cx，
設x₁、x₂是函數g（x）的兩個極值點，則x₁、x₂是方程g′（x）=-3x²+2bx+c=0的兩個根，△=4b²+12c＞0（c為正整數），
∴x₁+x₂=

2b

3

，
又∵A、O、B三點共線，
∴

- x 3 1 +b x 2 1 +cx1

x1

=

- x 3 2 +b x 2 2 +cx2

x2

，
∴（x₁-x₂）[-（x₁+x₂）+b]=0，
又∵x₁≠x₂，
∴b=x₁+x₂=

2b

3

，
∴b=0．
（2）∵x≥0時，f（x）_min=2，
由g′（x）=-3x²+c=0得x=

c 3

，可知g（x）在(0，

c 3

)上單調遞增，在(

c 3

，+∞)
上單調遞減，g(x)極大值=g(

c 3

)=-

c

3

c 3

+c

c 3

=

2c

3

c 3

．
①由

c 3 ≤1 2c 3 c 3 ＜2

得c＜3，∴c的值為1或2．（∵c為正整數）
②

c 3

＞1時，記g（x）在x∈[1，

c 3

]上切線斜率為2的切點的橫坐標為x₀，
則由g′（x）=-3x²+c=2得x0=

c-2 3

，依題意得g（x₀）＜f（x₀），∴-x03+cx0＜2x0，  ∴x02＞c-2，  ∴

c-2

3

＞c-2，得c＜2，與c＞3矛盾．
（或構造函數h（x）=2x-g（x）在x≥1上恒正）
綜上，所求c的值為1或2．

點評：本題考查了利用導數判斷極值點的個數，以及比較函數大小問題．