Question

如圖，F₁（-c，0），F₂（c，0）分別是雙曲線C：-=1（a＞0，b＞0）的左，右焦點，過點F₁作x軸的垂線交雙曲線的上半部分于點P，過點F₂作直線PF₂的垂線交直線l：x=于點Q，若點Q的坐標為（1，-4）．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）求∠F₁PF₂的角平分線所在直線的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）將點P（-c，y₁）（y₁＞0）代入-=1得y₁=
∴P（-c，）
∵點Q的坐標是（1，-4），PF₂⊥QF₂
∴=-1
∵=1，c²=a²-b²
∴a=2，c=4，b==2
∴雙曲線C的方程為；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F₁（-4，0），F₂（4，0），P（-4，6），則|PF₁|=6，|PF₂|=10
設∠F₁PF₂的角平分線所在直線的方程與x軸交于M（x，0），則由角平分線的性質可得
∴x=-1，∴M（-1，0）
∴∠F₁PF₂的角平分線所在直線的方程為，即2x+y+2=0．
分析：（Ⅰ）求出P的坐標，根據點Q的坐標，PF₁⊥QF₂，即可求得雙曲線C的方程；
（Ⅱ）利用角平分線的性質，求出∠F₁PF₂的角平分線所在直線的方程與x軸交點的坐標，即可求得直線方程．
點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查直線方程，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．