Question

如圖，F₁（-c，0），F₂（c，0）為雙曲線E的兩焦點，以F₁F₂為直徑的圓O與雙曲線E交于M、N、M₁、N₁，B是圓O與y軸的交點，連接MM₁與OB交于H，且H是OB的中點．
（1）當c=1時，求雙曲線E的方程；
（2）試證：對任意的正實數c，雙曲線E的離心率為常數．

Answer 1

分析：（1）由c=1，知B（0，1），H(0，

1

2

)，M(

3

2

，

1

2

)，由M在E上，知

a2+b2=1 3 4a2 - 1 4b2 =1

，由此能求出雙曲線E的方程．
（2）由F1(-c，0)，B(0，c)，H(0，

c

2

)，M(

3 c

2

，

c

2

)，知3e⁴-8e²+4=1，由此能證明e為常數．

解答：（1）解：∵c=1，
∴B（0，1），H(0，

1

2

)，M(

3

2

，

1

2

)，
設E：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
∵M在E上，則
∴

a2+b2=1 3 4a2 - 1 4b2 =1

，
解得

a2= 1 2 b2= 1 2

，
∴雙曲線E的方程為：2x²-2y²=1…7分
（2）證明：F1(-c，0)，B(0，c)，H(0，

c

2

)，M(

3 c

2

，

c

2

)
設E：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，

a2+b2=c2 3c2 4a2 - c2 4b2 =1 e= c a

，即3e4-8e2+4=1，
解得e²=2或e²=

2

3

（舍），
∴e=

2

為常數． 7分．

點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，雙曲線的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．