Question

已知10件不同的產品中共有3件次品，現對它們進行一一測試，直到找出所有3件次品為止．
（1）求恰好在第5次測試時3件次品全部被測出的概率；
（2）記恰好在第k次測試時3件次品全部被測出的概率為f（k），求f（k）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）根據題意，若恰好在第5次測試時3件次品全部被測出，則第5次取出第3件次品，前4次中有2次是次品，2次是正品；有排列、組合數公式可得其情況數目，易得從10件產品中順序取出5件的情況數目，由等可能事件的概率，計算可得答案；
（2）根據題意，分析可得k的范圍是3≤k≤9，進而分3≤k≤6、7≤k≤9時討論，由等可能事件計算可得f（k），比較大小可得答案．

解答：解：（1）若恰好在第5次測試時3件次品全部被測出，則第5次取出第3件次品，前4次中有2次是次品，2次是正品；
則有A₃¹C₇²A₄⁴種情況，從10件產品中順序取出5件，有A₁₀⁵種情況，
則第5次測試時3件次品全部被測出的概率P=

A 1 3 C 2 7 A 4 4

A 5 10

=

1

20

，
（2）根據題意，分析可得k的范圍是3≤k≤9，
當3≤k≤6時，若恰好在第k次測試時3件次品全部被測出，則第k次取出第3件次品，前k-1次中有2次是次品，k-3次是正品；而從10件產品中順序取出k件，有A₁₀^k種情況，則f(k)=

A 1 3 C k-3 7 A k-1 k-1

A k 10

=

1

240

(k2-3k+2)，
則f（3）=

1

120

，f（4）=

1

40

，f（5）=

1

20

，f（6）=

1

12

；
當k=7時，即恰好在第7次測試時3件次品全部被測出，有兩種情況，一是第7次取出第3件次品，前6次中有2次是次品，4次是正品；二是前7次沒有取出次品，此時也可以測出三件次品，
則f(7)=

A 1 3 C 4 7 A 6 6 + A 7 7

A 7 10

=

2

15

；
當k=8時，即恰好在第7次測試時3件次品全部被測出，有兩種情況，一是第8次取出第3件次品，前7次中有2次是次品，5次是正品；二是前7次恰有一次次品，第8次取出為合格品，
則f(8)=

A 1 3 C 5 7 A 7 7 + A 1 7 C 1 3 A 7 7

A 8 10

=

7

30

；
當k=9時，即恰好在第9次測試時3件次品全部被測出，有兩種情況，一是第9次取出第3件次品，前8次中有2次是次品，6次是正品；二是前8次取出1次次品，第9次取出第2件次品，
f(9)=

A 1 3 C 6 7 A 8 8 + A 1 7 C 2 3 A 8 8

A 9 10

=

7

15

．
故f(k)min=f(3)=

1

120

，f(k)max=f(9)=

7

15

．

點評：本題考查概率的計算，注意（2）中，當7≤k≤9時，計算f（k）時，需要分2種情況討論．