Question

如圖，Rt△ABC中，點P，Q同時從A點出發，分別沿A→C→B→A，A→B→C→A運動，相遇時運動停止．已知AB=12，BC=5，Q運動的速度是P的兩倍，則

AP

•

AQ

的最大值是（　　）

• A．

  221

  2

• B．100
• C．169
• D．

  225

  2

Answer 1

分析：分析得出相遇時P經過的路程為10，P保持在線段AC上，而Q則經AB，BC，到達AC的相遇處，設Q經過的路程為x，用x表示相關向量的模，利用向量數量積的定義及運算法則考察計算，得出結果．

解答：解：AB=12，BC=5，AC=13，Rt△ABC周長為30，相遇時P經過的路程為10，P保持在線段AC上．
設Q經過的路程為x，
當P在線段AB上時，即0≤x≤12時，顯然

AP

•

AQ

逐漸增大，
當P在線段BC上時，即12＜x＜17時，

AP

•

AQ

=

AP

•(

AB

+

BQ)

=

AP

•

AB

+

AP

•

BQ

，也會隨P運動而增大．
當P與C重合時，即x=17時，

|AP|

=

12+5

2

=

17

2

，

|AQ|

=

|AC|

=13時

AP

•

AQ

=13×

17

2

×cos0=

221

2

當P在線段AC上時，

|AP|

=

x

2

，

|AQ|

=13-(x-17)=30-x，

AP

•

AQ

=

x(30-x)

2

在（17，20）上單調遞減．
綜上所述，當P與C重合時，

AP

•

AQ

的最大值是

221

2

故選A

點評：本題考查向量數量積的定義及數量積的運算法則，函數思想，分類討論的思想和意識．